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Dissertações |
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JOSIAS VERA BACA
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Equação de Schrödinger Semilinear com Peso
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Orientador : CLAUDIANOR OLIVEIRA ALVES
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MEMBROS DA BANCA :
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BRUNO SERGIO VASCONCELOS DE ARAUJO
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CLAUDIANOR OLIVEIRA ALVES
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FLANK DAVID MORAIS BEZERRA
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Data: 17/11/2025
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Neste trabalho, utilizamos a teoria de semigrupos e o método da energia, juntamente
com argumentos de compacidade, para estabelecer a existência local de uma solução e a
boa colocação de uma importante equação de Schrödinger semilinear com peso.
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In this work, we use semigroup theory and the energy method, together with compactness
arguments, to establish the local existence of a solution and the well-posedness
of the weighted semilinear Schrödinger equation.
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LARYSSA KELY ALVES RODRIGUES
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Existência de soluções com norma prescrita para uma classe de equações elípticas semilineares
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Orientador : ROMILDO NASCIMENTO DE LIMA
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MEMBROS DA BANCA :
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CÉSAR ENRIQUE TORRES LEDESMA
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MARCO AURELIO SOARES SOUTO
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ROMILDO NASCIMENTO DE LIMA
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Data: 21/11/2025
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Neste trabalho, pretendemos estudar a existência de soluções normalizadas para uma classe de equações elípticas semilineares do tipo $-\Delta u=\lambda u +g(u)$ em $\mathbb{R}^N$, com certas condições sobre a função $g$. Nos últimos anos, esse tipo de problema tem despertado grande interesse, devido ao fato de que a norma é preservada da evolução, sendo relevante para a física. Sabemos que, em $\mathbb{R}^N$, perdemos a compacidade nas imersões de Sobolev. Dessa forma, para contornar a situação, Jeanjean (1997) trabalhou no espaço $H^1_{rad}(\mathbb{R}^N)$. Por meio de uma abordagem variacional baseada no Princípio Variacional de Ekeland e no Passo da Montanha, o autor estabelece a existência de soluções. Nesse sentido, apresentaremos em detalhes os resultados obtidos por Jeanjean (1997), no qual trata-se de um dos primeiros trabalhos a abordar esse tema, sendo amplamente referenciado.
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In this work, we intend to study the existence of normalized solutions for a class of semilinear elliptic equations of the type $-\Delta u=\lambda u +g(u)$ in $\mathbb{R}^N$, with certain conditions on the function $g$. In recent years, this type of problem has attracted great interest because the norm is preserved from evolution, being relevant for physics. We know that, in $\mathbb{R}^N$, we lose compactness in Sobolev embeddings. Thus, to circumvent this situation, Jeanjean (1997) worked in the space $H^1_{rad}(\mathbb{R}^N)$. Through a variational approach based on Ekeland's Variational Principle and the Mountain Pass, the author establishes the existence of solutions. In this sense, we will present in detail the results obtained by Jeanjean (1997), which is one of the first works to address this topic and widely referenced.
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MARISA DA CUNHA BEZERRA
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Controlabilidade Exata de Fronteira para a Equação da Onda em um Domínio Não-cilíndrico
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Orientador : PAMMELLA QUEIROZ DE SOUZA
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MEMBROS DA BANCA :
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FÁGNER DIAS ARARUNA
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ALDO TRAJANO LOUREDO
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BRUNO SERGIO VASCONCELOS DE ARAUJO
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PAMMELLA QUEIROZ DE SOUZA
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SEVERINO HORACIO DA SILVA
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Data: 24/11/2025
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Neste trabalho, investigamos o problema da controlabilidade exata para a equação
$$u''-\Delta u=0 \quad \text{em} \quad \widehat{Q},$$
onde $\widehat{Q}$ é um domínio não cilíndrico de $\mathbb{R}^{n+1}$. Para contornar os desafios impostos pela geometria não cilíndrica, realizamos uma mudança de variáveis apropriada, que nos permite transformar o problema \eqref{Eq.Onda} em um problema equivalente em um domínio cilíndrico. Assim, estudamos a controlabilidade exata da equação
$$w'' - \displaystyle\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_{ij}(x,t) \frac{\partial w}{\partial x_j} \right) + \sum_{i=1}^n b_i(x,t) \frac{\partial w'}{\partial x_i} + \sum_{i=1}^n \beta_i(x,t) \frac{\partial w}{\partial x_i} = 0 \quad \text{em} \quad Q,$$
onde $Q=\Omega \times (0,T)$ é um cilindro, com $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ um domínio limitado.
Os resultados de boa colocação foram estabelecidos via método de Galerkin, garantindo existência e unicidade de soluções. Em seguida, estudamos a controlabilidade exata utilizando o Método da Unicidade de Hilbert (HUM) e, por fim, demonstramos a equivalência entre os sistemas, o que assegura que os resultados de controlabilidade obtidos no cilindro se estendem de forma rigorosa ao domínio não cilíndrico $\widehat{Q}$.
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In this work, we investigate the problem of exact controllability for the equation
$$u''-\Delta u=0 \quad \text{in} \quad \widehat{Q},$$
where $\hat{Q}$ is a non-cylindrical domain of $\mathbb{R}^{n+1}$. To overcome the challenges imposed by the non-cylindrical geometry, we perform an appropriate change of variables, which allows us to transform problem \eqref{Eq.Onda_} into an equivalent problem in a cylindrical domain. Thus, we study the exact controllability of the equation
$$w'' - \displaystyle\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_{ij}(x,t) \frac{\partial w}{\partial x_j} \right) + \sum_{i=1}^n b_i(x,t) \frac{\partial w'}{\partial x_i} + \sum_{i=1}^n \beta_i(x,t) \frac{\partial w}{\partial x_i} = 0 \quad \text{in} \quad Q,$$
where $Q=\Omega \times (0,T)$ is a cylinder, with $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ a bounded domain. The well-posedness results are established via the Galerkin method, ensuring existence and uniqueness of solutions. In this setting, we study the exact controllability using the Hilbert Uniqueness Method (HUM) and, finally, demonstrate the equivalence between these systems, which ensures that the controllability results obtained in the cylinder extend rigorously to the non-cylindrical domain $\hat{Q}.$
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